1. В 10 коробках лежат карандаши (пустых коробок нет). Известно, что в разных коробках разное число карандашей, причем в каждой коробке все карандаши разных цветов. Докажите, что из каждой коробки можно выбрать по карандашу так, что все они будут разных цветов.

                                                 (П.Кожевников)

 

2. Даны пятьдесят различных натуральных чисел, двадцать пять из которых не превосходят 50, а остальные больше 50, но не превосходят 100. При этом никакие два из них не отличаются ровно на 50. Найдите сумму этих чисел.

                                                 (В.Произволов)

 

3. В окружность радиуса 2 вписан остроугольный треугольник A_1A_2A_3. Докажите, что на дугах A_1A_2, A_2A_3, A_3A_1 можно отметить по одной точке (B_1,B_2,B_3 соответственно) так, чтобы площадь шестиугольника A_1B_1A_2B_2A_3B_3 численно равнялась периметру треугольника A_1A_2A_3.

                                                 (Г.Гальперин)

 

4. Даны три различных натуральных числа, одно из которых равно полусумме двух других. Может ли произведение этих трех чисел являться точной 2008-й степенью натурального числа?

                                                 (Г.Гальперин)  

 

5. Несколько спортсменов стартовали одновременно с одного и того же конца прямой беговой дорожки. Их скорости различны, но постоянны. Добежав до конца дорожки,  спортсмен мгновенно разворачивается и бежит обратно, затем разворачивается на другом конце, и т.д. В какой-то момент все спортсмены снова оказались в одной точке. Докажите, что такие встречи всех будут продолжаться и впредь.

                                                 (А.Шаповалов)

 

6. У Алеши есть пирожные, разложенные в несколько коробок. Алеша записал, сколько пирожных в каждой коробке. Сережа взял по одному пирожному из каждой коробки и положил их на первый поднос. Затем он снова взял по одному пирожному из каждой непустой коробки и положил их на второй поднос - и так далее, пока все пирожные не оказались разложенными по подносам. После этого Сережа записал, сколько пирожных на каждом подносе. Докажите, что количество различных чисел среди записанных Алешей равно количеству различных чисел среди записанных Сережей.

                                                   (А.Буфетов)

 

7. Решите систему уравнений (n>2) корень из x_1 + корень из (x_2 + ... + x_n) =

         корень из x_2 + корень из (x_3 + ... + x_n + x_1) =

         корень из x_3 + корень из (x_4 + ... + x_1 + x_2) =

         ...................................................

         корень из x_n + корень из (x_1 + ... + x_(n-1))

         x_1 - x_2 = 1.

                                                   (Б.Френкин)

 

8. В окружность радиуса 2 вписан тридцатиугольник A_1A_2 ... A_{30}. Докажите, что на дугах A_1A_2, A_2A_3, ..., A_{30}A_1 можно отметить по одной точке (B_1, B_2, ..., B_{30} соответственно) так, чтобы площадь шестидесятиугольника A_1B_1A_2B_2 ... A_{30}B_{30} численно равнялась периметру   тридцатиугольника   A_1A_2   ...  A_{30}.

                                                 (Г.Гальперин)

 

9. На клетчатом листе бумаги нарисованы несколько прямоугольников, их стороны идут по сторонам клеток. Каждый прямоугольник состоит из нечетного числа клеток, и никакие два прямоугольника не содержат общих клеток. Докажите, что эти прямоугольники можно раскрасить в 4 цвета так, чтобы у прямоугольников одного цвета не было общих точек границы.

                                                   (А.Грибалко)

 

10. В выпуклом 2009-угольнике проведены все диагонали. Прямая пересекает 2009-угольник, но не проходит через его вершины. Докажите, что прямая пересекает четное число диагоналей.

                                                 (Г.Гальперин)

 

11. Пусть a^b обозначает число a в степени b. В выражении  7^7^7^7^7^7^7 надо расставить скобки, чтобы определить порядок действий (всего будет 5 пар скобок). Можно ли расставить эти скобки двумя разными способами так, чтобы получилось одно и то же число?

                                                   (А.Толпыго)

 

12. Володя хочет сделать набор кубиков одного размера и написать на каждой грани каждого кубика по одной цифре так, чтобы можно было из этих кубиков выложить любое 30-значное число. Какого наименьшего количества кубиков ему для этого хватит? (Цифры 6 и 9 при переворачивании не превращаются друг в друга.)

                                                   (В.Замятин)

 

13. Натуральное число увеличили на 10% и снова получили натуральное число. Могла ли при этом сумма цифр уменьшиться ровно на 10%?

                                                 (А.Шаповалов)

 

14. В ромбе ABCD угол А равен 120 градусов. На сторонах BC и CD взяты точки M и N так, что угол NAM равен 30 градусам. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника NAM, лежит на диагонали ромба.

                                                 (Р.Женодаров)

 

15. Пусть a^b обозначает число a в степени b. В выражении  7^7^7^7^7^7^7 надо расставить скобки, чтобы определить порядок действий (всего будет 5 пар скобок). Можно ли расставить эти скобки двумя разными способами так, чтобы получилось одно и то же число?

                                                  (А.Толпыго)

 

16. На плоскости даны несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые точки соединены отрезками. Известно, что любая прямая, не проходящая через данные точки, пересекает четное число отрезков.

Докажите, что из каждой точки выходит четное число отрезков.

                                     (И.Богданов, Г.Гальперин)

 

 

17. Для каждого натурального числа n обозначим через O(n)  его наибольший нечетный делитель. Даны произвольные натуральные числа х_1=а и х_2=b. Построим бесконечную последовательность натуральных чисел по правилу: x_n = О(х_{n-1} + х_{n-2}), где n = 3, 4, ... .

а) Докажите, что, начиная с некоторого места, все числа в последовательности будут равны одному и тому же числу.

б) Как найти это число, зная числа a и b?

                                                 (Г.Гальперин)

 


18. В ряд выписаны несколько нулей и единиц. Рассмотрим пары цифр в этом ряду (не только соседних), где левая цифра равна 1, а правая 0. Пусть среди этих пар ровно M таких, что между единицей и нулем этой пары стоит четное число цифр (возможно, ни одной), и ровно N - таких, что между единицей и нулем этой пары стоит нечетное число цифр. Докажите, что M больше или равно N.

                                                   (В.Ясинский)

 

 

19. Внутри некоторого тетраэдра взяли произвольную точку X. Через каждую вершину тетраэдра провели прямую, параллельную отрезку, соединяющему X с точкой пересечения медиан противоположной грани. Докажите, что четыре полученные прямые пересекаются в одной точке.

                                                   (С.Маркелов)

 

20. Вася и Петя играют в следующую игру. На доске написаны два числа: 1/2009 и 1/2008. На каждом ходу Вася называет любое число x, а Петя увеличивает одно из чисел на доске (какое захочет) на x. Вася выигрывает, если в какой-то момент одно из чисел на доске станет равным 1.

Сможет ли Вася выиграть, как бы ни действовал Петя?

                                                   (Д.Баранов)

 

21.

а) Докажите, что найдется многоугольник, который можно  разделить отрезком на две равные части так, что этот отрезок разделит одну из сторон многоугольника пополам, а другую - в отношении 1:2.

б) Найдется ли выпуклый многоугольник с таким свойством?

                                                   (С.Маркелов)

 

22. В каждой клетке квадрата 101*101, кроме центральной, стоит один из двух знаков: "поворот" или "прямо". Шахматная фигура "машина" может въехать извне в любую клетку на границе квадрата (под прямым углом к границе). Если машина попадает в клетку со знаком "прямо", то она продолжает ехать в том же направлении, что и ехала. Если попадает в клетку со знаком "поворот", то поворачивает на 90 градусов в любую сторону по своему выбору. Центральную клетку квадрата занимает дом. Можно ли так расставить знаки, чтобы машина не могла попасть в дом?

                                                 (А.Чеботарев)

 

23. Дана бесконечная последовательность различных натуральных чисел. Известно, что каждый член этой последовательности (кроме первого) - либо среднее арифметическое, либо среднее геометрическое двух соседних с ним членов. Обязательно ли все члены этой последовательности, начиная с некоторого, - только средние арифметические либо только средние геометрические своих соседей?

                                                 (А.Перепечко)

 

24. Замок обнесен круговой стеной с 9 башнями, на которых дежурят рыцари. По истечении каждого часа все они переходят на соседние башни, причем каждый рыцарь движется либо все время по часовой стрелке, либо против. За ночь каждый рыцарь успевает подежурить на каждой башне. Известно, что был час, когда на каждой башне дежурили хотя бы два рыцаря, и был час, когда ровно на 5 башнях дежурили ровно по одному рыцарю. Докажите, что был час, когда на одной из башен вообще не было рыцарей.

                                                   (М.Мурашкин)

 

25. Угол C при вершине равнобедренного треугольника ABC равен 120 градусов. Из вершины C выпустили внутрь треугольника два луча под углом 60 градусов друг к другу, которые, отразившись от основания AB (по закону "угол падения равен углу отражения"), попали на боковые стороны. В результате исходный треугольник разделился на 5 меньших треугольников. Рассмотрим те три из них, которые примыкают к стороне AB. Докажите, что площадь среднего треугольника равна сумме площадей крайних.

                                                 (В.Произволов)

 

26. Пусть C_n^k обозначает количество способов выбрать k предметов из n различных предметов (способы, отличающиеся только порядком выбора предметов, считаются одинаковыми). Докажите, что если натуральные числа k и l меньше n, то числа C_n^k и C_n^l имеют общий множитель, больший 1.

                                                     (Фольклор)

 

27. Прямоугольник разбили на несколько меньших прямоугольников. Могло ли оказаться, что для каждой пары полученных прямоугольников отрезок, соединяющий их центры, пересекает еще какой-нибудь прямоугольник?

                                                  (М.Мурашкин)

 

28. Дана бесконечная последовательность различных натуральных чисел. Известно, что каждый член этой последовательности (кроме первого) - либо среднее арифметическое, либо среднее геометрическое двух соседних с ним членов. Обязательно ли все члены этой последовательности, начиная с некоторого, - только средние арифметические либо только средние геометрические своих соседей?

                                                 (А.Перепечко)

 

29. На каждой клетке доски 10*10 стоит фишка. Разрешается выбрать диагональ, на которой стоит четное число фишек, и снять с нее любую фишку. Какое наибольшее число фишек можно убрать с доски такими операциями?

                                                   (М.Мурашкин)

 

30. Три плоскости разрезают параллелепипед на восемь шестигранников, все грани которых - четырехугольники (каждая плоскость пересекает свои две пары противоположных граней параллелепипеда и не пересекает две оставшиеся грани). Известно, что вокруг одного из этих шестигранников можно описать сферу. Докажите, что и вокруг каждого из них можно описать сферу.

                                                 (В.Произволов)

 

31. Пусть C_n^k обозначает количество способов выбрать k предметов из n различных предметов (способы, отличающиеся только порядком выбора предметов, считаются одинаковыми). Докажите, что если натуральные числа k и l меньше n, то числа C_n^k и C_n^l имеют общий множитель, больший 1.

                                                     (Фольклор)

 

32. Дано целое число n>1. Двое по очереди отмечают точки на окружности: первый - красным цветом, второй - синим. Когда отмечено по n точек каждого цвета, игра заканчивается. Затем каждый игрок находит на окружности дугу наибольшей длины с концами своего цвета, на которой больше нет отмеченных точек. У кого длина дуги больше - тот выиграл (в случае равенства длин дуг, а также при отсутствии таких дуг у обоих игроков - ничья). Кто из играющих может всегда выигрывать, как бы ни играл противник?

                                                 (А.Шаповалов)

 

 

 

33. В ячейку памяти компьютера записали число 6. Далее компьютер делает миллион шагов. На шаге номер n он увеличивает число в ячейке на наибольший общий делитель этого числа и n. Докажите, что на любом шаге компьютер увеличивает число в ячейке либо на 1, либо на простое число.

                                                      (М.Франк)

 

34. Существует ли арифметическая прогрессия из пяти различных натуральных чисел, произведение которых есть точная 2008-я степень натурального числа?

 

                                                 (Г.Гальперин)

 

35. Играют двое. У первого 1000 четных карточек (2, 4,... , 2000), у второго 1001 нечетных (1, 3, ... , 2001). Ходят по очереди, начинает первый. Ход соcтоит в следующем: игрок, чья очередь ходить, выкладывает одну из своих карточек, а другой, посмотрев на нее, выкладывает одну из своих карточек; тот, у кого число на карточке больше, записывает себе одно очко, а обе выложенные карточки выбрасываются. Всего получается 1000 ходов (и одна карточка второго не используется). Какое наибольшее число очков может гарантировать себе каждый из  игроков (как бы ни играл его соперник)?

 

Top.Mail.Ru Яндекс.Метрика