Изучение сделанных из камня изображений и нанесенных охрой и углем рисунков на стенах пещер убедительно показывает, что уже десятки тысяч лет тому назад люди не только накапливали сведения о поведении животных и птиц, свойствах трав и плодов, но и пытались установить закономерности окружающего их мира, понять его происхождение. Так складывались древнейшие мифы о "Великой праматери" — общем предке людей и животных, о тотемах — покровителях племени, а влиянию потусторонних сил приписывал древний человек такие грозные явления природы, как гром и молния, землетрясения и ураганы.

По мере развития земледелия и животноводства возрастала роль наблюдений за небом: положение небесных светил подсказывало, когда надо начинать сеять или убирать урожай, с неба шел дождь, орошавший поля и пастбища, с неба же опускалась на посевы и сады саранча — один из самых опасных врагов древнего земледельца. Поэтому древняя мифология охватывала не только Землю, но и небо.

В древности философия, естествознание и математика были столь родственны, что ими, как правил о, занимались одни и те же люди. Например, Фалес не только философствовал о беспредельном и предсказывал затмения, но и первым начал доказывать геометрические теоремы, а создателем крупнейшей и влиятельнейшей философской школы в VI в. до н. э. был Пифагор, которому предание приписывает доказательство знаменитой теоремы о прямоугольном треугольнике.

Пифагор учил, что "все есть число", причем некоторые числа (1, 4, 7, 10) играли в его миропонимании особую роль. Впрочем, мнение о мистической роли числа 7 возникло еще у древних шумеров задолго до того, как в Греции начала развиваться математика. В их мифах можно встретить семь духов бурь, семь злых болезней, семь областей подземного мира, закрытых семью дверями, и т. д.

Идея бесконечности проникала в науку не только в связи с вопросами о том, есть ли границы у Вселенной, и было ли начало, и будет ли конец мира. Одним из самых жгучих вопросов, над которым билась мысль древнегреческих философов, явилось устройство мира в малом. Повседневный опыт учил, что вынутый из печи хлеб можно разделить между двумя, тремя, от силы десятью участниками трапезы, а если раскрошить его, то получится все же не более мириады, то есть десяти тысяч крошек. Можно ли делить далее этот хлеб, есть ли вообще предел для делимости материальных предметов на части? Ответить на этот вопрос, опираясь только на опыт, было невозможно. Здесь речь шла о столь мелких частицах, что разглядеть их не смог бы и сам рысьеглазый Линией, легендарный впередсмотрящий на корабле аргонавтов. Поэтому вопрос о пределе делимости вещей перешел из сферы опыта в сферу умозрительных рассуждений.

Много размышлял о бесконечности и ее свойствах один из величайших философов древности Аристотель. Говоря в своих сочинениях об этом предмете, он предупреждает, что здесь приходится ходить по очень зыбкой почве. Слишком много противоречий накопилось вокруг этого понятия со времен Зенона и Демокрита. Поэтому Аристотель признавал, что "много невозможного следует и за отрицанием существования бесконечного, и за признанием". Он указывал на пять оснований, приводящих к мысли о существовании бесконечности. Четырьмя из них были: бесконечность времени, бесконечное разделение величин, используемое в математике, необходимость бесконечности, чтобы не иссякли возникновение и уничтожение, и то, что конечное всегда граничит с чем-нибудь, а потому не может быть предела конечному. Самым же важным основанием Аристотель считал пятое, а именно что мышление ни на чем не останавливается: и число кажется бесконечным, и математические величины, и то, что лежит за небом. А если лежащее за небом бесконечно, говорил он, то существует множество миров.

Последние столетия античной цивилизации характеризуются упадком науки, распространением суеверий, веры в чудеса и знамения. Постепенно утрачивается устная традиция, позволявшая понимать сложные умозаключения великих ученых периода расцвета, падает авторитет науки и возрастает доверие к различного рода магам, чудодеям и пророкам. Торжество христианского вероучения завершило этот процесс медленного умирания античной философии и науки. В 415 г. н. э. толпа озверевших христианских фанатиков, натравленная александрийским епископом Кириллом, растерзала последнюю представительницу античной культуры Гипатию и сожгла Александрийскую библиотеку, хранившую сокровища древней культуры.

К концу XVII в. и в астрономии, и в физике, и в математике полную победу одержали идеи, так или иначе связанные с применением бесконечности. Сложилась картина мира, управляемого геометрией Евклида и законами движения Ньютона. Ученые полагали, что, зная положение всех материальных тел в данный момент времени, они смогут предсказать их положение в любой последующий момент — ведь для этого надо лишь решить соответствующие дифференциальные уравнения.

При этом два основоположных камня, на которых возводилось все здание, не имели ничего общего друг с другом. Бесконечное пространство никак не соотносилось с наполнявшей его материей, оно было лишь сценой, на которой разыгрывалась мировая драма. По самой своей сущности это пространство безотносительно к чему бы то ни было внешнему оставалось всегда одинаковым и неподвижным — оно не изменилось бы даже, если бы вся материя неожиданно исчезла.

Не зря все-таки Аристотель предупреждал о зыбкости и неясности понятия бесконечности, об осложнениях, к которым оно может привести. Вскоре после создания ныотонианской физики и математического анализа в этих науках возникли первые осложнения.

Ученики и последователи Ньютона и Лейбница с необычайной легкостью пользовались расплывчатыми и полными непостижимой загадочности понятиями бесконечно малого и бесконечно большого, решая с их помощью сложнейшие задачи астрономии, физики и механики. Запросто складывали они бесконечные множества слагаемых, не колеблясь, переносили на такие суммы правила действий над конечными суммами. И хотя основные понятия нового исчисления казались туманными для математиков, воспитанных на античной строгости, практические успехи нового исчисления заставляли всех забывать об этом. "Идите вперед, и вера к вам придет", говаривал своим ученикам видный французский математик XVIII в. Д'Аламбер.

В своем романе "Астронавты" писатель-фантаст Станислав Лем писал: "Картина звездного неба менялась очень быстро. Снимки, сделанные еще вчера, не совпадали со снимками, сделанными сегодня. Казалось, что какая-то таинственная сила раздвигает звезды, словно они являются крапинками на поверхности воздушного шарика, который раздувается все сильнее и сильнее. Гравитолог Звездной экспедиции уже несколько дней не отходил от вычислительной машины. Экспедиция приближалась к тяжелой звезде, сильно искривлявшей окружающее пространство. Для определения курса корабля было необходимо непрерывно вычислять эту кривизну. Это была серьезная проверка. Люди впервые сталкивались со столь сильными полями тяготения, со столь большой кривизной. Уравнения, полученные когда-то Эйнштейном, держали теперь экзамен. От них зависел успех экспедиции и даже сама жизнь ее участников".

В течение многих тысячелетий люди думали, что Земля плоская. Однако наблюдения за тенью Земли во время лунных затмений привели древнегреческих ученых к мысли о шарообразности Земли. Эратосфену удалось даже с довольно большой точностью измерить ее радиус. Но после того, как снова воцарилась мысль, что Земля плоская, для доказательства шарообразности Земли понадобилось кругосветное путешествие Магеллана.

А теперь представьте себе планету Ялмез, где живут разумные существа, но небо закрыто вечной пеленой облаков, а океанские путешествия по тем или иным причинам невозможны. Смогли бы жители этой планеты узнать, что кости, со всех сторон окруженном водой, а на сфере? Иными словами, было ли необходимо путешествие Магеллана для того, чтобы доказать шарообразность Земли?

Но не только наличие избытка у треугольников показало жителям Ялмеза, что они живут не на плоскости, а на кривой поверхности. Неверной оказалась и теорема Пифагора. Например, у треугольника ABC угол А равен 90°, а все его стороны равны друг другу. Вообще, здесь трудно разобрать, где гипотенуза, а где катеты — все углы прямые.

К неожиданным результатам привело и изучение параллельных прямых на поверхности планеты. Ведь если провести на плоскости замкнутую линию, а потом перемещать вдоль нее отрезок так, чтобы он оставался все время параллелен самому себе, то отрезок вернется в исходную точку, не изменив направления (рис. 3, а). Измерения на малых участках поверхности планеты, казалось бы, подтверждали этот результат (параллельными ялмезяне считали прямые, перпендикулярные одной и той же прямой).

Итак, измеряя сумму углов треугольника, наблюдая за поворотом параллельных при переносе по замкнутому контуру, проверяя теорему Пифагора, жители планеты убедились, что они живут не на плоскости, а на какой-то искривленной поверхности. За меру кривизны некоторого участка поверхности они приняли угол поворота отрезка, параллельно перенесенного вдоль границы этого участка. Эту кривизну можно было считать и по-другому: разбить участок на треугольники и сложить избытки всех треугольников. Ведь, если два треугольника объединяются в один, то их избытки складываются.

Формула (1) определяет кривизну к поверхности сферы, отнесенную к единице площади. Как мы видели, она равна 1/R2. Иными словами, чем больше радиус сферы, тем меньше искривлен участок ее поверхности, имеющий единичную площадь; поверхность мяча искривлена гораздо больше, чем поверхность Земли.

Гаусс предложил таким же образом измерять кривизну любой поверхности. На любой поверхности можно строить геометрию точно так же, как и на поверхности сферы. Роль прямолинейных отрезков играют при этом кратчайшие (их еще называют геодезическими) линии, то есть линии, длина которых меньше длины всех остальных линий, соединяющих данные две точки. С ними впервые столкнулись геодезисты при измерении расстояний на поверхности Земли. К слову сказать, и сам Гаусс пришел к занятиям геометрией на поверхностях после того, как он в течение нескольких лет занимался геодезическими измерениями.

На сфере во всех точках кривизна одна и та же, и притом положительна. А есть поверхность постоянной отрицательной кривизны. Ее называют псевдосферой. Она получается следующим образом.

Представим себе, что в точке A стоит человек, который держит на поводке собаку (рис. 6). Вначале собака находится в точке O. После этого она бежит по прямой Oz с постоянной скоростью, а ее хозяин бежит вслед за ней так, что его скорость все время направлена вдоль поводка. Поэтому сначала хозяин бежит в направлении AO. Но по мере того, как собака продвигается по прямой Ox, направление бега хозяина образует все меньший угол с этой прямой, причем расстояние от бегущего человека до прямой Ox становится все меньше.

В работах Гаусса был до конца решен вопрос о том, что такое кривизна поверхности. На повестку дня встала проблема, как определить меру кривизны пространства. Это удалось сделать одному из самых замечательных математиков XIX в.- Бернгарду Риману.

Проблеме кривизны пространства была посвящена пробная лекция, прочитанная Риманом в 1854 г. Тогда в университетах существовал хороший обычай: начинающий преподаватель должен был прочесть лекцию для членов факультета, чтобы они могли определить его педагогические способности. Риман предложил несколько тем пробных лекций, из которых Гаусс выбрал одну, сильнее всего заинтересовавшую его — "О гипотезах, лежащих в основании геометрии". Надо полагать, что слушатели остались не слишком высокого мнения о педагогических дарованиях Римана: содержание лекции понял до конца лишь один слушатель — Гаусс.

Как же ответил Риман на вопрос: что такое кривизна пространства и как она измеряется? Он применил тот же способ, каким Гаусс измерял кривизну поверхности: подсчитывал сумму углов треугольника, составленного из отрезков геодезических линий, и смотрел, на сколько она отличается от π. Однако при этом возникло осложнение: ведь в пространстве через точку можно провести много плоскостей и кривизна зависит не только от того, в какой точке ее вычисляют, но и от того, в какой плоскости лежат треугольники. Поэтому Риман говорил не о кривизне в данной точке, а о кривизне в данной точке в направлении данной плоскости.

Если для всех треугольников в пространстве сумма углов равна π, тов этом пространстве верна обычная геометрия Евклида. Такое пространство не имеет кривизны, или, как говорят, оно плоское. Если же есть треугольники, сумма углов которых больше π, то кривизна пространства в соответствующих точках положительна; если же сумма углов меньше π, то отрицательна.

Лишь в начале XX в. начало осуществляться предсказание Римана — вопрос о кривизне пространства перешел из области абстрактных математических рассмотрений в область конкретных физических теорий. Обдумывая причину равенства инертной и гравитационной масс, великий физик Альберт Эйнштейн создал общую теорию относительности, радикально изменившую наши представления о связи материи и пространства. Если, как уже говорилось выше, в физике Ньютона пространство никак не зависело от наполнявшей его материи, то в новой теории оказалось, что пустого пространства, то есть пространства без содержащегося в нем поля, просто не существует. Пространство и время оказались существующими не сами по себе, а лишь в неразрывной связи друг с другом и только как структурное свойство поля.

После появления общей теории относительности перед астрономами встал важнейший вопрос: а как же устроено реальное пространство? Ведь если оно искривлено и кривизна его положительна, то оно может быть устроено примерно как трехмерная сфера, то есть но иметь нигде границ и в то же время иметь конечные размеры. Некоторые философы отрицали самую возможность конечности размеров реального пространства. Но их доводы не более убедительны, чем доказательства ялмезянских ученых, считавших, что они живут на бесконечной плоскости, а не на ограниченной сфере. Ответ на поставленный вопрос должны были дать не умозрительные построения, а астрономические исследования.

После появления нестационарных моделей Вселенной встал ряд вопросов, над которыми сейчас работает мысль физиков-теоретиков: когда начался разлет галактик и что было до этого, будет ли это разбегание продолжаться вечно или оно сменится периодом сжатия и т. д. В настоящее время большинство ученых согласны в том, что много миллиардов лет тому назад Вселенная находилась в сверхплотном состоянии. Плотность сгустка была, по-видимому, больше, чем плотность вещества в ядрах атомов, то есть больше, чем 1014г/см3. Некоторые подсчеты дают величины порядка 1093г/см3. Ясно, во всяком случае, что материя находилась в состоянии, совершенно неведомом современным физикам, и к ней не были применимы ни законы гравитации, ни квантовая теория.

О многом и едином рассуждали Пифагор и Зенон, Платон и Аристотель. Еще пифагореец Модерат определял число (разумеется, натуральное), как собрание единиц, а Евклид в VII книге "Начал" прямо пишет, что "Число же — множество, составленное из единиц" (в древнегреческой математике единица числом не считалась).

Но "теоретико-множественный бум", то есть широкое использование теории множеств в самых разных областях науки и техники, возник только в XX в. Почему же раньше обходились без этого понятия? Ответ на этот вопрос весьма несложен: те, кто раньше не знал о множествах, были подобны мольеровскому герою, не знавшему, что он говорит прозой. Они имели дело с множествами на каждом шагу, не называя их лишь по имени.

Ни бесконечные множества, ни конечные множества, содержащие очень много элементов, невозможно задать с помощью списков. Чтобы определить такое множество, прибегают к указанию свойства, присущего всем его элементам, но не присущего ни одному элементу, не принадлежащему определяемому множеству. Это свойство элементов множества называется для него характеристическим.

Например, для множества простых чисел характеристическим является то, что все его элементы — натуральные числа, имеющие ровно два делителя. Пользуясь этим свойством, можно сразу сказать, что ни число 1, ни число 18, ни, наконец, число 2/3 не являются простыми. Число 1 потому, что оно имеет лишь один, а не два различных делителя, число 18 потому, что у него шесть различных делителей: 1, 2, 3, 6, 9, 18, а число 2/3 потому, что оно не является натуральным. Число же 7 является простым, так как оно имеет ровно два делителя: числа 1 и 7.

Мы уже говорили, что элементами множеств могут быть объекты самого различного вида. Специалисты в тех или иных областях науки имеют дело с множествами предметов и понятий, рассматриваемых в этих науках. Сейчас теоретико-множественные методы используются и в лингвистике, и в этнографии, и в физике. Лингвисты рассматривают, например, множество глаголов или множество падежей данного языка, этнографы — множество видов родственных отношений для членов данного племени, физики — множество молекул газа в данном объеме.

Все эти множества конечны и потому во многих случаях могут быть заданы своими перечнями. Например, учитель, изучая успеваемость в каком-нибудь классе средней школы, задает множество учеников этого класса их списком в классном журнале, библиотекарь задает списком (каталогом) множество книг в библиотеке, географ задает списком множество государств на земном шаре.

Мы уже отмечали, что задание множеств реальных объектов с помощью их характеристических свойств наталкивается на затруднения. Эти затруднения связаны как с большим числом промежуточных форм, так и с недостаточной четкостью обыденного языка. Казалось бы, например, что множество русских слов однозначно определено и всем ясно, что ему принадлежат слова воин, конь, стоять и не принадежат слова table, legen, απειρον. Однако, раскрыв семнадцатитомный словарь русского языка, многие читатели встретят там незнакомые слова, принадлежность которых этому множеству им не была ранее известна. Кроме того, на протяжении веков в русском языке появлялись новые слова, иногда заимствованные из других языков, например хозяин или амбар — из тюркских языков, зонтик — из голландского, периферия — из греческого, другие же слова отмирали и исчезали.

Оригинальный выход из описанных выше затруднений предложил американский ученый Л. Заде: он ввел понятие нечеткого (или иначе размытого) множества и тесно связанное с ним понятие лингвистической переменной. Подобно тому как четким свойствам (быть простым числом, быть треугольником) соответствуют обычные или, иначе, четкие множества (множество простых чисел, множество треугольников), нечетким свойствам (например, быть молодым человеком, быть длинной улицей) соответствуют нечеткие множества (молодых людей, длинных улиц). Ведь, например, почтенный академик назовет молодым и сорокалетнего коллегу, а студенту-первокурснику профессор такого возраста кажется пожилым. Каждому человеку (или, точнее, каждому эксперту) соответствует четкое множество людей, которых он считает молодыми. Но тогда каждому человеку x соответствует число m/n, где n — общее число экспертов, а m — число экспертов, считающих, что x молод. Обозначим m/n через p (x) и скажем, что x входит в нечеткое множество молодых людей с коэффициентом принадлежности p(x), который, конечно, принимает значения от 0 до 1.

Все то, что говорилось о множествах выше, относилось в основном к множествам, содержащим конечное число элементов. На протяжении тысячелетий изучение бесконечных множеств было изгнано из науки авторитетом Аристотеля. Впрочем, преподававший в Оксфордском университете в XIII в. схоласт Роберт Гроссетет (он был, между прочим, учителем знаменитого Роджера Бэкона) считал, что актуально-бесконечное — это определенное число, которое хотя и не познаваемо для нас, но существует актуально. Более того, Гроссетет считал возможным сравнивать друг с другом две бесконечности. Он полагал, что больше моментов в большем времени, чем в меньшем, и больше точек в большей величине, чем в меньшей. Число "точек в отрезке длиной в локоть" он считал истинной мерой этого отрезка. Тем самым потенциальной бесконечности Аристотеля снова была противопоставлена актуальная бесконечность единиц.

Домой я вернулся довольно поздно — вечер воспоминаний в клубе "Туманность Андромеды" затянулся далеко за полночь. Всю ночь меня мучили кошмары. То мне снилось, что меня проглотил огромный курдль, то грезилось, что я снова лечу на планету Дурдиотов и не знаю, как избежать тамошней страшной машины, превращающей людей в шестиугольники, то... Неожиданный телефонный звонок вернул меня в мир реальности. Звонил старый друг и коллега по межзвездным странствиям профессор Тарантога.

"Срочное задание, дорогой Йон,- услышал я.- Астрономы обнаружили в космосе какой-то странный объект — от одной галактики до другой тянется таинственная черная линия. Никто не понимает, в чем дело. Самые лучшие радиотелескопы, нейтриноскопы и гравитоскопы пе могут помочь в раскрытии тайны. Осталась надежда лишь на тебя. Срочно вылетай в направлении туманности АЦД-1587".

На этом мы временно расстанемся с нашим героем. Многое в его рассказе вызывает сомнения — ведь по законам теории относительности невозможно передавать сигналы со скоростью, большей чем 300 000 км/с. Поэтому даже самая первая команда администратора потребовала бы для своего выполнения бесконечно большого промежутка времени. Но не будем требовать слишком многого от Иона Тихого — в его путешествиях бывали куда более невероятные приключения.

Дальнейшая часть этого раздела сайта посвящается рассказу о теории бесконечных множеств. И хотя события будут развертываться не в межзвездном пространстве, а на отрезке [0, 1] или квадрате со стороной 1, многие из них окажутся не менее необычайными.

Мы познакомились с тем, как узнать, что два конечных множества имеют поровну элементов, не прибегая к пересчету этих множеств. Этот способ можно применить и для бесконечных множеств. Только здесь уж не удастся прибегнуть к помощи "оркестра", а придется самим располагать элементы двух сравниваемых множеств в "танцующие пары".

Итак, пусть у нас даны два множества А и В. Говорят, что между ними установлено взаимно однозначное соответствие, если элементы этих множеств объединены в пары (a, b) так, что:

   1. элемент a принадлежит множеству A, а элемент b — множеству B;

   2. каждый элемент обоих множеств попал в одну и только одну пару.

Основной догмой, которую пришлось отбросить, было положение, установленное на самой заре развития математики: часть меньше целого. Это положение безусловно верно для конечных множеств, но для бесконечных множеств оно уже теряет силу. Вспомните, как расселил директор необыкновенной гостиницы космозоологов по четным номерам. При этом расселении жилец из № n переезжал в № 2n. Иными словами, расселение шло по следующей схеме:

Все множества, которые имеют столько же элементов, сколько имеет множество натуральных чисел, называют счетными. Иными словами, множество называется счетным, если оно бесконечно, но его элементы можно перенумеровать натуральными номерами. Например, множество четных чисел, множество нечетных чисел, множество простых чисел, да и вообще любая бесконечная часть множества натуральных чисел являются счетными множествами.

Иногда, для того чтобы установить счетиость того или иного множества, надо проявить изобретательность. Возьмем, например, множество всех целых чисел (как положительных, так и отрицательных):

..., -n, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., n, ...

Нам удалось занумеровать все рациональные числа. Но рациональные числа получаются из натуральных чисел с помощью лишь одной операции — деления (и еще, быть может, изменения знака). А теперь мы добавим еще операцию извлечения корня и будем рассматривать все числа, которые можно получить из натуральных чисел с помощью этой операции и арифметических действий.

Top.Mail.Ru Яндекс.Метрика